Свою трудовую деятельность он начал на Воронежском мостозаводе. С середины 1970-х годов состоял на партийной и советской работе. В 1990 году возглавил Воронежский горком КПСС. Был депутатом городского совета.
С формированием новых, российских органов власти Анатолий Дубиков нашел себя на другом поприще. Весной 1995 года он стал председателем только что образованной Контрольно-счетной палаты Воронежской области. При нем этот орган обрел силу и авторитет: исполнительная власть всегда давала массу поводов для вмешательства контрольных органов, и КСП во главе с Дубиковым последовательно и старательно исследовала причины и последствия нецелевого использования казенных средств и имущества, передавая при необходимости материалы силовикам.
Целый ряд громких уголовных дел в конце 90-х - начале 2000-х годов состоялся в Воронеже благодаря работе областной Контрольно-счетной палаты.
Этот пост Анатолий Филиппович оставил весной 2010 года, перейдя на общественную работу.
